Algorithme américain d'optimisation Zebra pour les problèmes d'optimisation globale

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 5211 (2023) Citer cet article

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Un nouvel algorithme méta-heuristique bio-inspiré, à savoir l'algorithme d'optimisation du zèbre américain (AZOA), qui imite le comportement social des zèbres américains à l'état sauvage, est proposé dans cette étude. Les zèbres américains se distinguent des autres mammifères par leur caractère social distinct et fascinant et leur exercice de leadership, qui oblige les bébés zèbres à quitter le troupeau avant la maturité et à rejoindre un troupeau séparé sans liens familiaux. Ce départ du bébé zèbre favorise la diversification en empêchant les accouplements intra-familiaux. De plus, la convergence est assurée par l'exercice du leadership chez les zèbres américains, qui oriente la vitesse et la direction du groupe. Ce comportement de style de vie social des zèbres américains est de nature indigène et est la principale source d'inspiration pour proposer l'algorithme méta-heuristique AZOA. Pour examiner l'efficacité de l'algorithme AZOA, les fonctions de référence CEC-2005, CEC-2017 et CEC-2019 sont prises en compte et comparées à plusieurs algorithmes méta-heuristiques de pointe. Les résultats expérimentaux et l'analyse statistique révèlent qu'AZOA est capable d'atteindre les solutions optimales pour des fonctions de référence maximales tout en maintenant un bon équilibre entre l'exploration et l'exploitation. De plus, de nombreux problèmes d'ingénierie réels ont été utilisés pour démontrer la robustesse d'AZOA. Enfin, il est prévu que l'AZOA accomplisse de manière dominante pour les futures fonctions avancées de référence CEC et d'autres problèmes d'ingénierie complexes.

L'optimisation est le processus d'identification des variables de décision tout en maintenant diverses contraintes pour maximiser ou minimiser la fonction de coût. Les contraintes, la fonction de coût et les variables de conception sont les composants critiques de tout problème d'optimisation. Les techniques d'optimisation sont largement applicables dans les domaines de l'ingénierie1, de la sélection de fonctionnalités2,3, du réglage des paramètres d'apprentissage automatique4, des réseaux de capteurs sans fil5, du traitement d'images6 et de la bioinformatique7. La plupart des problèmes réels sont hautement non convexes et non linéaires en raison de la présence de plusieurs variables de conception et de la nature intrinsèque des contraintes. De plus, il n'y a aucune certitude d'obtenir une solution optimale globale8. Les défis liés à ces problèmes réels incitent les scientifiques à concevoir des stratégies novatrices et efficaces pour de meilleurs résultats. Les approches d'optimisation peuvent être classées en deux types, telles que les approches déterministes basées sur le gradient et les approches non traditionnelles basées sur le stochastique9. Les approches basées sur le déterminisme ont des limites dans la résolution de problèmes avec des espaces de recherche discontinus, des fonctions objectives non convexes, de grande dimension et non différentiables. Cependant, les stratégies basées sur la stochastique ne pratiquent pas les informations basées sur le gradient ; au lieu de cela, ils sont suffisamment intelligents pour surmonter les limitations en s'appuyant sur des méthodes aléatoires dans l'espace de recherche. Les algorithmes méta-heuristiques sont répandus pour leur large applicabilité parmi les différentes techniques des approches stochastiques. Les algorithmes méta-heuristiques ont un fort potentiel pour explorer l'espace des solutions et exploiter la meilleure solution optimale. Par conséquent, plusieurs chercheurs ont tenté non seulement de proposer de nouveaux algorithmes méta-heuristiques, mais également d'améliorer l'efficacité des méthodes existantes, ce qui a abouti à la conception de plusieurs nouvelles méta-heuristiques au cours des dernières décennies. En général, les algorithmes méta-heuristiques peuvent être regroupés en trois types principaux, tels que les algorithmes évolutionnaires (EA), les algorithmes basés sur les phénomènes naturels (NP) et les algorithmes d'intelligence en essaim (SI)10,11. Les algorithmes évolutionnaires (EA) imitent le processus d'évolution de Darwin en utilisant trois mécanismes : la sélection, la reproduction et la mutation. Certaines des EA les plus importantes sont l'évolution différentielle (DE)12, l'algorithme génétique (GA)13, la stratégie évolutive d'adaptation de la matrice de covariance (CMA-ES)14, la stratégie évolutive (ES)15, les variantes DE adaptatives basées sur l'historique avec une taille de population linéaire Réduction (L-SHADE)16, Biogeography-Based Optimizer (BBO)17 et Learner Performance based—Behaviour (LPB)18. Les algorithmes basés sur NP émulent les lois chimiques et physiques du cosmos. La plupart des algorithmes bien connus basés dans cette catégorie sont le recuit simulé (SA)19, l'optimisation de la force centrale (CFO)20, l'algorithme de recherche gravitationnelle (GSA)21, l'optimiseur du cycle de l'eau (WCO)22, l'algorithme du trou noir (BHA)23 , Lightning Search Algorithm (LSA)24, Multi-Verse Optimization (MVO)25, Thermal Exchange Optimization (TEO)11, Henry Gas Solubility Optimization26, Equilibrium Optimizer (EO)27, Archimedes Optimization Algorithm (AOA)28, Lichtenberg Algorithm (LA )29, Flow Direction Algorithm (FDA)30 et Fusion–Fission Optimization (FuFiO)31. Les algorithmes Swarm Intelligence (SI) suivent le comportement naturel des mammifères, des oiseaux et des insectes. La plupart des algorithmes populaires basés sur SI sont l'algorithme Particle Swarm Optimizer (PSO)32, Grey Wolf Optimizer (GWO)33, Elephant Herding Optimization (EHO)34, Moth Flame Optimization (MFO)35, Whale Optimization Algorithm (WOA)36, Salp Swarm Algorithm (SSA)37, Grasshopper Optimizer Algorithm (GOA)38, Optimisation de Harris Hawks (HHO)39, An Improvised Competitive Swarm Optimizer (ICSO)40, Tunicate Swarm Algorithm (TSA)41, Levy Flight Distribution (LFD)10, et American Vultures Optimization Algorithm (AVOA)42, Aquila Optimizer (AO)43, Golden Eagle Optimizer (GEO)44, Orca Predation Algorithm (OPA)45 et Artificial Rabbits Optimization (ARO)46, Artificial Gorilla Troops Optimizer (GTO)47, Optimiseur de gazelle de montagne (MGO)48. Il est catégorique d'affirmer que les méta-heuristiques existantes49 ont des avantages et des limites. Par exemple, l'algorithme PSO classique a la faiblesse d'une convergence prématurée dans l'espace de recherche de grande dimension, tandis que l'algorithme génétique a des difficultés dans le réglage des paramètres et le calcul intensif. De même, l'algorithme de recherche gravitationnelle présente le défaut d'une vitesse de convergence lente et la présence de nombreux paramètres de contrôle. L'éminent algorithme GWO a du mal à résoudre les problèmes d'ingénierie difficiles en raison de sa faible capacité de recherche locale. De plus, l'algorithme TSA récemment proposé a l'incapacité de traiter des problèmes multimodaux de grandes dimensions. Par conséquent, il est essentiel de défier ces limites en adaptant de nouvelles techniques et méthodologies. De plus, le "No Free Lunch (NFL) Theorem"50 stipule qu'aucun algorithme ne peut être considéré comme le meilleur optimiseur pour tous les problèmes d'optimisation. Les problèmes non résolus ont également besoin d'une approche rare pour obtenir des solutions. En conséquence, des méta-heuristiques pionnières doivent être fréquemment proposées par les enquêteurs du monde entier. Par conséquent, dans cet article, une nouvelle méta-heuristique inspirée du comportement social des zèbres américains, à savoir l'algorithme d'optimisation des zèbres américains (AZOA), est projetée. Les zèbres américains sont des animaux socialement aptes qui restent en groupe avec un mâle, plusieurs femelles et une progéniture51. Les principaux comportements des zèbres comprennent l'alimentation, l'accouplement, la préservation de la hiérarchie sociale et l'orientation des jeunes52,53. Les zèbres américains se distinguent des autres mammifères par leur caractère unique et fascinant "l'honnêteté". Le caractère social «honnêteté» pousse les bébés zèbres à quitter le troupeau avant la maturité et à rejoindre un troupeau séparé sans relation familiale. Ce départ du bébé zèbre équilibre la diversification en empêchant les accouplements intra-familiaux. De plus, le zèbre mâle mature du groupe charme la femelle zèbre pour persuader la convergence. Ce concept le plus rare d'accord social nous inspire pour proposer l'algorithme américain Zebra Optimization Algorithm (AZOA). Il est prévu que la simplicité et la robustesse de l'algorithme AZOA propulseront des solutions globales rapides et précises tout en résolvant des fonctions de référence et des problèmes d'ingénierie réels. Les principaux apports de cette étude sont mis en évidence comme suit :

Un nouvel algorithme bio-inspiré, à savoir l'algorithme d'optimisation du zèbre américain (AZOA), est proposé et inspiré par le comportement social unique et l'exercice de leadership des zèbres américains.

Les différents comportements sociaux d'AZOA sont introduits et modélisés mathématiquement en cinq phases simples pour une mise en œuvre facile et des performances supérieures.

AZOA est implémenté et testé sur les fonctions de test de référence CEC-2005, CEC-2017 et CEC-2019 et sur plusieurs problèmes de conception technique pour garantir la robustesse de l'algorithme proposé.

Le reste de l'article est organisé comme suit : Sect. 2 examine les travaux connexes. La section 3 traite de la motivation et de la modélisation mathématique du travail proposé. La section 4 présente le dispositif expérimental et les discussions sur les résultats. La section 5 se concentre sur l'application de l'AZOA aux problèmes d'ingénierie classiques. Enfin, Sect. 6 fournit les conclusions et les recommandations pour les travaux de recherche futurs.

Dans la littérature, les algorithmes métaheuristiques sont classés en différentes catégories. Malgré des classifications distinctes, on pourrait affirmer que la majorité de ces algorithmes se sont inspirés du comportement collectif et des techniques de chasse des animaux sauvages. Cette section se penche sur les algorithmes métaheuristiques qui s'inspirent de la nature et étudie les algorithmes de base qui ont été proposés pour résoudre des problèmes d'optimisation. L'algorithme génétique (GA) est l'approche la plus ancienne et la plus largement utilisée pour résoudre les problèmes d'optimisation proposée par Holland en 1992, motivée par les principes évolutionnistes darwiniens. Cet algorithme a été largement utilisé dans la majorité des problèmes d'optimisation impliquant deux opérateurs de recombinaison et de mutation et est considéré comme l'un des algorithmes les plus populaires54, avec de nombreuses variantes améliorées et de recombinaison déjà décrites55. L'optimisation des essaims de particules (PSO) a été proposée en 1995 sur la base du comportement d'essaimage des oiseaux, des poissons et d'autres animaux dans la nature32. Il a été mis en œuvre dans presque tous les domaines d'optimisation, y compris les applications d'intelligence informatique, de conception et de planification. Cependant, de nombreux chercheurs proposent encore un grand nombre de variantes pour améliorer les performances de l'algorithme PSO. Afin d'améliorer la précision de la diversité et d'éviter le faible optimum local de PSO, Zaman et al.56 ont proposé un PSO amélioré avec BSA appelé PSOBSA. L'algorithme de fertilité des terres agricoles (FFA)57 a été développé pour résoudre les problèmes actuels ; il a été motivé par le fait que les terres agricoles sont séparées en plusieurs sections, les solutions de chaque secteur étant optimisées pour une efficacité optimale, à la fois dans la mémoire interne et externe. Les résultats de la simulation révèlent que la fertilité des terres agricoles fonctionne souvent mieux que d'autres algorithmes métaheuristiques. En référence58, Farhad Soleimanian Gharehchopogh et al. amélioré le FFA pour l'appliquer pour résoudre le problème du TSP. Il mesure la qualité de chaque partie de leurs fermes tout au long de leur visite et améliore la qualité du sol en utilisant des engrais et des matières organiques. Harris Hawks Optimizer (HHO) est un algorithme bien connu basé sur le comportement animal ; le comportement coopératif et le style de poursuite des faucons de Harris dans la nature, connus sous le nom de bond surprise, sont la principale source d'inspiration de HHO59. Kaur et al. a présenté l'algorithme TSA comme étant motivé par la reproduction du mode de vie des tuniciers en mer et de la manière dont la nourriture est livrée par Satnam41. De plus, il est considéré comme l'un des algorithmes métaheuristiques les plus récents pour les problèmes d'optimisation d'ingénierie. Le tunicier peut rechercher une source de nourriture, bien qu'il ignore son emplacement. Même si l'algorithme TSA est simple et fonctionne bien, il est facile de rester coincé dans l'optimisation locale, ce qui le fait converger plus rapidement que certains algorithmes métaheuristiques. Ainsi, Farhad Soleimanian Gharehchopogh60 a introduit une version de cet algorithme appelée l'algorithme QLGCTSA pour résoudre ces problèmes. Li et al.61 ont proposé un algorithme de moisissure visqueuse (SMA) qui imite le comportement de diffusion et de recherche de nourriture de la moisissure visqueuse. Il comporte un certain nombre de nouvelles fonctionnalités et un modèle mathématique spécial qui simule l'onde biologique à l'aide de poids adaptatifs. Il offre une voie optimale pour lier l'alimentation à une forte capacité d'exploration et d'exploitation. Les résultats indiquent que le SMA proposé a une performance compétitive et souvent excellente sur divers paysages de recherche. L'algorithme Tree-Seed Algorithm (TSA) a été proposé par Kiran en 2015 pour la résolution de problèmes d'optimisation continue et s'inspire de la relation entre les arbres et les graines dans la nature, ainsi que de la façon dont les graines d'arbres poussent et se positionnent62. Xue et al.63 ont proposé un algorithme de recherche de moineaux (SSA) basé sur la sagesse de groupe, la recherche de nourriture et les comportements anti-prédation des moineaux. L'algorithme de recherche de coucous (CS) a été proposé par Xin-She Yang et Suash Deb en 2009 et s'inspire du parasitisme agressif du couvain et des comportements de ponte de certaines espèces de coucous64. Cependant, les algorithmes CS ont des problèmes tels que la convergence prématurée, la convergence retardée et le piégé dans le piège local. Afin de surmonter ce problème, Shishavan, Saeid Talebpour et al.65 ont proposé un algorithme amélioré d'optimisation de la recherche de coucou (CSO) avec un algorithme génétique (GA) pour la détection de communauté dans des réseaux complexes. Symbiotic Organisms Search (SOS)66 est un nouvel algorithme métaheuristique robuste et puissant inspiré des stratégies d'interaction symbiotique adoptées par les organismes pour survivre et se propager dans l'écosystème. Dans la référence67, Hekmat Mohammadzadeh et al. introduit une sélection de fonctionnalités avec un algorithme de recherche d'organismes symbiotiques binaires pour la détection de spam par e-mail.

Cet article ne contient aucune étude avec des participants humains ou des animaux réalisée par l'un des auteurs.

Cette section met en évidence l'inspiration du style de vie sociale du zèbre américain en proposant l'algorithme AZOA avec la formulation mathématique.

Les zèbres américains appartiennent à la famille des équidés au pelage rayé blanc et noir. Ils vivent dans toute la région sud-est de l'Amérique et sont repérés dans des environnements tels que les arbustes, les plaines, les forêts et les collines. Les rayures des zèbres américains apparaissent dans des formes distinctes pour chaque individu. Les zèbres américains mesurent environ 7,5 pieds de long avec une hauteur d'épaule de 4 pieds et un poids de 600 livres. Ils ont une bonne vision, une bonne ouïe et la capacité de courir à une vitesse de 25 miles par heure. Les zèbres sont des animaux à instinct social qui vivent dans un groupe familial, comprenant un zèbre mâle, plusieurs femelles et leur progéniture, comme le montre la figure 1. Ils passent du temps en troupeaux, se toilettent les uns les autres et pour obtenir de l'herbe fraîche, ils paissent autour l'étalon chef de famille, comme le montre la Fig. 2. Les zèbres suivent strictement les limitations sociales et ne s'accouplent pas avec les membres de leur famille. Les zèbres étalons matures vivent dans un seul groupe pour trouver un partenaire d'accouplement approprié, tandis que les poulains femelles rejoignent d'autres groupes. Les zèbres mâles rejoignent les groupes solitaires une fois qu'ils sont assez vieux pour se reproduire, tandis que les zèbres femelles quittent leurs groupes de parents avant d'atteindre l'adolescence. Ce processus de sortie du groupe empêche les parents zèbres de se reproduire avec leur progéniture pour garantir la diversité requise en AZOA. De même, la convergence est assurée par l'exercice de leadership en zèbres américains pour diriger la vitesse et la direction du groupe68. Le groupe doit être guidé vers les meilleures réserves d'eau disponibles par le chef de groupe des étalons. L'étalon domine l'autre groupe de zèbres en amenant les membres du groupe à utiliser les sources d'eau. Ce mode de vie social des zèbres est de nature indigène et extrêmement fructueux pour proposer une technique méta-heuristique. Par conséquent, sur la base de cette source d'inspiration, un nouvel algorithme méta-heuristique appelé AZOA est en cours de développement avec sa formulation mathématique pour relever les défis d'optimisation globale.

Zèbres américains dans un groupe familial.

Pâturage autour du chef de famille (étalon).

Cette section présente la modélisation mathématique du comportement de vie sociale des zèbres américains en proposant l'algorithme AZOA. L'activité vitale des zèbres américains se compose de 5 phases clés, qui sont répertoriées comme suit :

Phase 1 : Formation de groupes de zèbres aléatoires

Phase 2 : Activité alimentaire des zèbres américains

Phase 3 : Activité de reproduction des zèbres américains

Phase 4 : Direction de groupe

Phase 5 : Étape de transition du leadership consistant à sélectionner un nouveau leader

Dans la nature, les zèbres vivent en plusieurs groupes différents en suivant l'étalon chef de groupe, ce qui semble diviser toute la population en plusieurs groupes. Ici, la notation 'P' représente la probabilité d'étalon dans toute la population 'S', et le nombre total 'N' de groupes est calculé par la formule \(N=S*P\). La position du \({i}\)ème zèbre dans le \({j}\)ème groupe \({(Z}_{i,j\in N}=\left\{{Z}_{ij1}, {Z}_{ij2}, {Z}_{ij3},.....,{Z}_{ijn}\right\})\) pour l'espace de recherche \(n\)-dimensionnel est calculé à l'aide de la formule \({Z}_{i,j}={(Z}_{max}-{Z}_{min})rand+{Z}_{min}\). Ici, les points extrêmes supérieur et inférieur de la zone de recherche sont définis respectivement par \({Z}_{max}\) et \({Z}_{min}\). Le symbole '\(rand\)' désigne une valeur aléatoire entre [0, 1]. Ce mécanisme assure \(N\) nombre de foules de zèbres différentes avec un étalon unique dans chaque groupe. L'exemple d'image de la division des groupes de zèbres est reflété dans la Fig. 3.

Formation de groupes à partir de la population d'origine.

Les zèbres sont des herbivores et dépendent principalement de diverses herbes et feuilles vertes. Obtenir de l'herbe fraîche et des feuilles vertes est très difficile pour les jeunes zèbres, ils dépendent donc du chef de famille. Par conséquent, les zèbres paissent toujours ensemble et se déplacent autour de l'étalon chef de famille. Pour modéliser mathématiquement l'activité alimentaire des zèbres américains, les équations suivantes sont proposées.

où \({Z}_{S}^{j}\) et \({Z}_{i,}^{j}\) représentent la position de l'étalon et du \({i}\)ème zèbre de le \({j}\)ème groupe, respectivement, \({N}_{j}\) représente le nombre total de membres dans le \({j}\)ème groupe, \({R}_{1}\ ) indique une valeur aléatoire uniforme entre [− 2, 2] qui induit l'alimentation du zèbre à plusieurs angles de 360 ​​degrés autour du chef du groupe, \({R}_{2}\) désigne le paramètre adaptatif qui est évalué par Éq. (3), \({R}_{3}\) désigne une valeur aléatoire située dans [0, 1], les fonctions \(\mathrm{Sin}\) et \(\mathrm{Cos}\) aident la mouvement des autres \({i}\)ièmes membres sous plusieurs angles autour du chef de la famille69, \({\overline{Z} }_{i}^{j}\) représente la nouvelle mise à jour \({i}\ )ème position du membre pendant l'alimentation, et enfin, \({\overline{F} }_{i}^{j}\) est sa valeur de fitness du \({i}\)ème zèbre.

Ici, \(T\) et \(t\) désignent respectivement l'itération maximale et l'itération courante.

Pour le bon équilibre de la chaîne alimentaire, la présence d'animaux en bas de la chaîne alimentaire, comme les chevaux, les vaches, les ânes et les zèbres, en abondance est essentielle. Par conséquent, ces animaux se reproduisent abondamment. Parmi ces animaux, le comportement du zèbre est complètement différent, et il préserve la dignité de la famille. Ils ne se reproduisent pas avec leurs parents et leurs frères et sœurs. Ainsi, les jeunes zèbres quittent leur famille avant l'âge adulte et rejoignent une autre famille de zèbres pour se reproduire. Ce mécanisme est présenté graphiquement sur la figure 4 en considérant trois groupes de zèbres différents. Ici, le bébé zèbre du \({i}\)ème groupe a deux façons de choisir la nouvelle famille ; c'est-à-dire que le bébé zèbre peut aller dans le \({j}\)ème groupe ou le \({k}\)ème groupe. De même, les autres bébés zèbres de chaque groupe doivent choisir un tel nouveau groupe comme si aucun de leurs frères et sœurs n'y était jamais allé. Comme ces bébés zèbres n'ont aucun lien familial dans leur nouveau groupe, ils se reproduisent sans aucune restriction. Ainsi, les bébés zèbres de \(j\) et \(k\) identifient d'autres groupes et s'y reproduisent. Dans ce processus, la décence globale de la famille est préservée, ce qui contribue à maintenir la diversité dans l'algorithme AZOA. Pour modéliser l'activité de reproduction des zèbres, les équations suivantes ont été développées.

où \({Z}_{i}^{a}\) représente la position du bébé zèbre \(a\) du \({i}\)ème groupe, \({Z}_{j}^{b }\) indique la position du zèbre \(b\) du \({j}\)ème groupe, \({Z}_{k}^{c}\) représente la position du zèbre \(c\) de \ ({k}\)ème groupe, et \({Z}_{j}^{q}\) et \({Z}_{k}^{q}\) sont la position du zèbre \(q\ ) dans le \({j}\)ème groupe et le \({k}\)ème groupe, respectivement.

Activité d'élevage de zèbres américains.

Les zèbres accordent une grande importance au chef de famille. Le chef de la famille recherche pour eux des prairies vertes, des feuilles d'arbres et des plans d'eau. Le chef combat souvent d'autres zèbres rivaux et fournit de la bonne nourriture et des boissons à sa famille. Le groupe de zèbres, plus fort que l'autre groupe, conserve les droits sur le réservoir d'eau et les prairies. Après cela, d'autres pourront en profiter. Cette approche est modélisée à l'aide des équations suivantes.

où \({R}_{4}\) représente un nombre aléatoire uniforme situé dans [− 2, 2], \({R}_{5}\) désigne le paramètre adaptatif qui est déterminé par Eq. (8), \({R}_{6}\) représente un nombre aléatoire uniforme situé dans [0, 1], \(WR\) désigne les réserves d'eau, \({Z}_{S}^{j} \) est la \(j\)ème position actuelle de l'étalon leader du groupe, \({\overline{Z} }_{S}^{j}\) est la position suivante de l'étalon leader du groupe \(j\)th, et \({\overline{F} }_{S}^{j}\) est sa valeur de fitness d'étalon dans le \(j\)ème groupe.

Il est tout à fait nécessaire que le groupe ait un chef de groupe fort afin que le groupe puisse maintenir la discipline de manière appropriée et puisse également organiser les sources de nourriture disponibles. Si dans une situation quelconque, le leader du groupe devient faible, alors il est essentiel de changer de leader. La formule suivante est développée pour modéliser l'étape de transition du leadership pour sélectionner un nouveau leader.

où \({Z}_{S}^{j}\) représente la position actuelle de l'étalon du chef de groupe \(j\) et \(F( {Z}_{S}^{j})\) est la valeur de fitness de l'étalon leader.

Le pseudo-code et l'organigramme de l'algorithme d'optimisation zebra américain sont présentés dans l'algorithme 1 et sur la figure 5, respectivement.

Organigramme de l'algorithme AZOA proposé.

La complexité d'exécution d'AZOA dépend de trois procédures : l'initialisation, l'évaluation de la valeur de fitness et la mise à jour des individus. La complexité de calcul du processus initial avec \(M\) individus est O \((M)\), et la mise à jour du mécanisme est O (\(T*M\)) + O (\(T*M*d\ )), où \(T\) représente les itérations maximales et \(d\) désigne la dimension des problèmes spécifiques. Par conséquent, la complexité totale du temps d'exécution d'AZOA est O (\(M*\)(\(T+Td+1\))), ce qui est similaire à d'autres optimiseurs.

Dans cette section, plusieurs expériences sont réalisées pour examiner l'efficacité de l'algorithme AZOA nouvellement proposé tout en le comparant avec d'autres méta-heuristiques telles que PSO, GWO, GSA, SSA, MVO, TSA et LFD. Ici, trois combinaisons de test importantes, à savoir CEC-200570, CEC-201771 et CEC-201972, sont utilisées, ainsi que trois problèmes d'ingénierie à accomplir dans les expériences. De plus, plusieurs tests statistiques comme le test \(t\)73 et le test de Wilcoxon rank-sum74 sont effectués pour analyser les performances de l'algorithme. Pour le test des fonctions de référence, le nombre d'agents de recherche et d'évaluations de fonctions (ENF) est fixé à 30 et 15 000, respectivement. Les paramètres de contrôle initiaux de tous les algorithmes sont présentés dans le tableau 4. Toutes les expériences sont réalisées sur Windows 10, processeur 1,70 GHz, 8,00 Go de RAM et MATLAB R2021a95. Les discussions détaillées sur les performances de l'algorithme AZOA sur chaque suite de tests de référence sont fournies dans les sous-sections suivantes.

Le CEC-2005 est la suite de tests standard pour les chercheurs en intelligence computationnelle. La suite de tests ace contient vingt-trois fonctions de référence, qui peuvent être classées en trois groupes : unimodal (\(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}7\)), multimodal (\(\mathrm{F} }8{-}\mathrm{F}13\)) et les fonctions multimodales à dimension fixe (\(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}23\)). La liste des fonctions tout-benchmark, ainsi que leurs paramètres, est présentée dans les tableaux 1, 2 et 3. Généralement, tous les algorithmes d'optimisation comportent deux phases : l'exploration et l'exploitation. Une fonction de test unimodal comprend une solution optimale globale unique qui aide à évaluer la capacité d'exploitation d'un algorithme. Cependant, les fonctions multimodales et multimodales à dimension fixe incluent plusieurs points optimaux qui aident à tester la capacité d'exploration de l'algorithme. Deux critères d'évaluation, la moyenne \((moy)\) et l'écart type \((std)\), sont déterminés à l'aide des équations suivantes :

où \({x}_{i}\) désigne la solution la mieux obtenue à partir de la \(i\)ième exécution et \(R\) représente trente exécutions indépendantes.

Les paramètres statistiques \(avg\) et \(std\) quantifient les performances d'un algorithme. Plus la valeur de \(avg\) est faible, meilleure est la capacité de l'algorithme à obtenir une solution proche de l'optimum global. Même si les deux algorithmes ont la même valeur \(avg\), leurs performances pour obtenir l'optimum global peuvent varier à chaque génération. Par conséquent, \(std\) est utilisé pour établir une comparaison plus précise. Le \(std\) doit avoir une valeur faible pour avoir moins de variation dans les résultats. Les résultats statistiques en termes de moyenne et d'écart type d'AZOA ainsi que leur algorithme comparé sont présentés dans le tableau 5. Le tableau 5 démontre que l'AZOA a obtenu de meilleurs résultats dans toutes les fonctions unimodales sauf \(\mathrm{F}6\) que les autres algorithmes comparés. dans les capacités d'exploitation. Les résultats des fonctions multimodales indiquent qu'AZOA est capable de surpasser les autres méta-heuristiques en termes de capacité d'exploration. D'autre part, GSA et PSO ont fonctionné admirablement pour les fonctions \(\mathrm{F}8\) et \(\mathrm{F}13\), respectivement. Les résultats des fonctions à dimension fixe et multimodales montrent que AZOA est plus efficace pour optimiser \(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}16\) et \(\mathrm{F}20{-}\mathrm {F}23\). Cependant, ces résultats doivent encore être testés pour vérifier la signification statistique entre l'algorithme. Par conséquent, les tests statistiques impératifs, tels que le test \(t\) et le test de la somme des rangs de Wilcoxon à \(\alpha\) = 0,05 % de niveau significatif, sont nécessaires pour indiquer une amélioration significative de l'algorithme proposé. Soit \({avg}_{1}\), \({avg}_{2}\) et \({std}_{1}\), \({std}_{2}\) les moyenne et écart-type pour les deux algorithmes, respectivement. Les résultats du test \(t\) à \(\alpha\) = 0,05 % pour chaque fonction sont présentés dans le tableau 5, qui sont calculés par l'équation. (12). L'analyse de sensibilité de l'algorithme AZOA proposé est effectuée à la Fig. 6.

Analyse de sensibilité de l'algorithme AZOA proposé pour les paramètres PC et SP.

Si la valeur \(t\) correspondante est en gras, AZOA fonctionne nettement mieux par rapport aux autres algorithmes. En cas d'égalité, les résultats sont affichés en italique gras. De plus, les dernières lignes de chaque tableau, étiquetées \(w/t/l\), indiquent les gains, les égalités et les pertes AZOA sur l'algorithme donné en termes de valeurs \(t\). Clairement, à partir des valeurs \(t\), on observe que la performance de l'AZOA est une différence statistiquement significative dans la plupart des cas. Les résultats du test de somme des rangs de Wilcoxon de l'AZOA à \(\alpha\) = niveau significatif de 0,05 % sont présentés dans le tableau 6. Ici, \(\mathrm{H}=\) \(1\) et \(\ mathrm{H }= 0\) indiquent respectivement l'acceptation et le rejet, tandis que \(Na\) indique les valeurs optimales équivalentes des deux algorithmes. D'après le tableau 6, on observe que la plupart des valeurs \(p\) sont inférieures à 0,05, ce qui montre clairement que l'algorithme AZOA est plus performant que les autres méta-heuristiques. Après les tests statistiques, il faut vérifier le graphe de convergence des algorithmes. L'objectif principal de l'analyse de convergence est de comprendre le comportement et la représentation graphique de l'algorithme AZOA proposé. Par conséquent, les courbes de convergence des algorithmes pour certaines fonctions de test sont présentées à la Fig. 7. Comme le montrent les courbes de convergence, l'algorithme proposé dans les fonctions \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}4\) suit un certain schéma lisse, qui met davantage l'accent sur l'exploitation. Dans les fonctions \(\mathrm{F}8\), \(\mathrm{F}9\), \(\mathrm{F}11\) et \(\mathrm{F}22\), l'algorithme proposé suit un modèle différent qui a de nombreux points optimaux. Il se concentre davantage sur les phases d'exploration qui sont accomplies dans les premières phases de l'algorithme. Cependant, dans les dernières phases de l'algorithme, qui est généralement la phase d'exploitation, l'AZOA a fonctionné par étapes pour les fonctions \(\mathrm{F}10\) et \(\mathrm{F}12\). Dans les fonctions \(\mathrm{F}14\), \(\mathrm{F}15\), \(\mathrm{F}20\) et \(\mathrm{F}23\), l'algorithme proposé réalise une convergence comparable. En conséquence, l'AZOA présente un schéma de convergence supérieur dans presque toutes les fonctions. Afin d'analyser plus en profondeur et de comparer graphiquement les performances des techniques d'optimisation, le tracé en boîte à moustaches75 pour chaque métaheuristique et fonction objectif est affiché à la Fig. 8. La boîte centrale représente la valeur entre les premier et troisième quartiles et la ligne noire désigne la médiane. On peut observer à partir de la Fig. 8 que AZOA fonctionne mieux que les autres métaheuristiques de pointe. Cela démontre également qu'AZOA a de meilleures performances et une capacité de convergence supérieure dans les processus d'exploitation et d'exploration des composants. En résumé, selon les résultats et les analyses des performances des algorithmes sur CEC-2005, l'algorithme AZOA proposé est capable d'obtenir des solutions supérieures pour la plupart des fonctions de test et produit des résultats statiquement nettement meilleurs que les autres métaheuristiques.

Graphique de convergence d'AZOA et d'autres métaheuristiques dans la résolution des fonctions de référence CEC-2005.

Boîtes à moustaches d'AZOA et d'autres métaheuristiques dans la résolution du benchmark CEC-2005.

L'algorithme proposé, à savoir AZOA, utilise deux paramètres : le paramètre PC (probabilité de croisement) et le paramètre SP (probabilité d'étalon ou nombre de groupes). L'analyse de sensibilité de ces paramètres a été expliquée en modifiant leurs valeurs tout en gardant les autres paramètres constants, comme indiqué dans le tableau 4.

Pour examiner l'impact du paramètre PC, l'algorithme AZOA a été exécuté pour différentes valeurs de PC tout en gardant les autres paramètres constants. Les différentes valeurs de PC testées en expérimentation sont 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 et 0,5. La variation de PC sur les fonctions de référence standard est illustrée à la Fig. 6(i). Les résultats révèlent que lorsque la valeur de PC est fixée à 0,1, AZOA produit de meilleurs résultats optimaux (tableaux 5, 6).

Pour examiner l'impact du paramètre SP, l'algorithme AZOA a été exécuté pour différentes valeurs de SP tout en gardant les autres paramètres constants. Les différentes valeurs de PC testées en expérimentation sont 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 et 0,5. La variation de SP sur les fonctions de référence standard est représentée sur la figure 6 (ii). Les résultats révèlent que lorsque la valeur de SP est définie sur 0,1, AZOA produit de meilleurs résultats optimaux.

Dans cette section, les fonctions de la suite de tests CEC-2017 sont utilisées pour évaluer l'efficacité et la capacité de l'AZOA nouvellement proposé. La suite de tests contient trente fonctions dont la fonction \(\mathrm{F}2\) est exclue en raison de la difficulté de simulation. Les fonctions CEC-2017 sont classées en quatre groupes, à savoir unimodal (\(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}3\)), multimodal (\(\mathrm{F}4{-}\mathrm {F}10\)), hybride (\(\mathrm{F}11{-}\mathrm{F}20\)) et composition (\(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F} 30\)). Les fonctions hybrides et composites reflètent des fonctions d'optimisation plus difficiles avec des espaces de recherche dynamiques qui ont été utilisées pour étudier l'équilibre entre l'exploration et l'exploitation de l'algorithme. Dans cette fonction de test, la dimension est fixée à \(10\) et les temps d'exécution de tous les algorithmes sont considérés comme 30, avec 500 générations, pour un total de 150 000 évaluations de fonctions numériques (ENF). Les résultats statistiques de l'AZOA sur les fonctions d'objectif CEC-2017 sont présentés dans le tableau 7, et les meilleurs résultats sont mis en évidence en caractères gras. Le tableau 7 montre que l'algorithme proposé a de bonnes performances sur les problèmes unimodaux et les problèmes multimodaux, ainsi que la capacité d'identifier la solution optimale globale en continu. En outre, cela montre que l'algorithme AZOA a bien performé par rapport aux autres algorithmes existants sur les fonctions hybrides. De plus, les résultats du quatrième groupe de fonctions CEC-2017 montrent que l'AZOA produit des résultats compétitifs dans les fonctions de composition. Cependant, la comparaison d'algorithmes métaheuristiques basés sur leurs valeurs \(ave\) et \(std\) n'est pas concluante. Par conséquent, le test \(t\) et le test de somme des rangs de Wilcoxon et à \(\alpha\) = 0,05 % de niveau significatif sont présentés pour démontrer une différence significative dans l'AZOA. Les valeurs \(t\) à \(\alpha\) = 0,05 % de niveau de signification par test \(t\) sont présentées dans le tableau 7 pour confirmer la présence de différences significatives dans l'AZOA par rapport aux algorithmes comparés. Si la valeur \(t\) correspondante est en gras, les AZOA fonctionnent nettement mieux par rapport aux autres algorithmes. En cas d'égalité, les résultats sont affichés en italique gras. De plus, \(w/t/l\) a été étiqueté dans les dernières lignes du tableau 7, qui indiquent les gains, les égalités et les pertes AZOA sur cet algorithme en termes de valeurs \(t\). Clairement, à partir du tableau 7, on observe que AZOA a une différence significative par rapport aux autres algorithmes. Les valeurs \(p\) à \(\alpha\) = niveau significatif de 0,05 % par le test Wilcoxon Rank Sum sont présentées dans le tableau 8 pour les fonctions unimodales, multimodales et multimodales à virgule fixe, respectivement. Ces tableaux montrent que les valeurs \(p\) sont inférieures à 0,05. Cela montre clairement que l'algorithme zebra américain est plus performant que les autres algorithmes métaheuristiques. Les graphiques convergents des algorithmes implémentés sont illustrés à la Fig. 9. En regardant toutes ces courbes, il devient clair que l'AZOA montre la convergence rapide pour les fonctions \(\mathrm{F}1\), \(\mathrm{ F}10\), \(\mathrm{F}12\), \(\mathrm{F}13\), \(\mathrm{F}15\), \(\mathrm{F}18\), \(\mathrm{F}19\), et \(\mathrm{F}30\) et une convergence comparable pour les fonctions \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}4\) , \(\mathrm{F}11\), \(\mathrm{F}14\) et \(\mathrm{F}15\). À la suite de cette observation, AZOA peut être considéré comme l'un des algorithmes fiables. Sur la figure 10, les performances des algorithmes métaheuristiques et de l'AZOA proposé pour résoudre les fonctions \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}30\) sont présentées sous forme de boîte à moustaches. En optimisant la plupart des fonctions \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}30\), cette étude de boxplot indique que l'AZOA a une largeur plus petite et un centre plus efficace que les algorithmes métaheuristiques concurrents. Cela suggère que l'AZOA a fourni des solutions presque identiques dans plusieurs implémentations. En conséquence, AZOA peut offrir des solutions plus efficaces aux défis optimaux. L'analyse des résultats de l'optimisation CEC-2017 démontre qu'AZOA fonctionne mieux que les sept algorithmes comparés.

Graphique de convergence d'AZOA et d'autres métaheuristiques dans la résolution des fonctions de référence CEC-2017.

Boîtes à moustaches d'AZOA et d'autres métaheuristiques dans la résolution des fonctions de référence CEC-2017.

Cette sous-section calcule les performances de l'algorithme comparé à l'aide des nouvelles fonctions de référence CEC-2019 proposées. Pour tous les algorithmes, la taille de la population est considérée comme étant de 30 avec 500 itérations et un maximum de 15 000 évaluations de fonctions. Ses résultats sont comparés au même algorithme que celui utilisé dans la partie précédente. Les résultats statistiques tels que \(avg\) et \(std\) sont rapportés dans le tableau 9. Selon la valeur \(avg\), les résultats du tableau 9 montrent que le nouvel algorithme est plus performant pour résoudre les fonctions de référence dans comparaison avec un autre algorithme. Les valeurs \(t\) à \(\alpha\) = 0,05 % de niveau significatif sont présentées dans le tableau 9 pour vérifier la différence significative entre les algorithmes. Clairement, à partir du tableau 9, on observe que AZOA a une différence significative par rapport aux autres algorithmes. Les valeurs \(p\) par le test de la somme des rangs de Wilcoxon à \(\alpha\) = 0,05 % significatif sont présentées dans le tableau 10. Le tableau 10 montre que les valeurs \(p\) sont inférieures à 0,05. Cela montre clairement que l'algorithme américain d'optimisation zebra fonctionne bien par rapport aux autres algorithmes métaheuristiques.

Le graphique convergent des algorithmes qui ont été mis en œuvre est illustré à la Fig. 11. Il ressort de ces courbes que l'AZOA présente la convergence la plus rapide pour les fonctions \(\mathrm{F}1\), \(\mathrm{F }4\), \(\mathrm{F}5\) et \(\mathrm{F}7\) et une convergence comparable pour les fonctions \(\mathrm{F}2\), \(\mathrm{ F}3\), \(\mathrm{F}8\) et \(\mathrm{F}9\). Sur la figure 12, la boîte à moustaches des algorithmes comparés avec l'AZOA proposée pour résoudre les fonctions est présentée sous forme de boîte à moustaches. À partir de la Fig. 12, l'étude de la boîte à moustaches indique que l'AZOA a une largeur plus petite et un centre plus efficace que les algorithmes métaheuristiques concurrents. Cela montre que l'AZOA a fourni des solutions presque identiques dans plusieurs implémentations. En conséquence, AZOA peut offrir des solutions plus efficaces aux défis optimaux.

Graphique de convergence d'AZOA et d'autres métaheuristiques dans la résolution des fonctions de référence CEC-2019.

Boîtes à moustaches d'AZOA et d'autres métaheuristiques dans la résolution des fonctions de référence CEC-2019.

Dans cette sous-section, les performances de la méthode AZOA proposée sont comparées à celles des quatre derniers algorithmes exceptionnels, à savoir l'algorithme de fertilité des terres agricoles (FFA)57, l'optimisation de la gazelle des montagnes (MGO)48, l'algorithme d'optimisation des vautours africains (AVOA)42 et Optimiseur artificiel de troupes de gorilles (GTO)47. La méthode AZOA proposée et ces quatre derniers algorithmes exceptionnels sont implémentés sur les fonctions de référence CEC-2005, CEC-2017 et CEC-2019.

Les résultats de la simulation des fonctions de référence CEC-2005 sont présentés dans les tableaux 11 et 12. Selon les résultats de la simulation, la méthode AZOA proposée est le troisième meilleur optimiseur par rapport aux quatre derniers algorithmes exceptionnels pour résoudre \(\mathrm{F}1 {-}\mathrm{F}4\),\(\mathrm{F}7\), \(\mathrm{F}9{-}\mathrm{F}11\), \(\mathrm{F} 14{-}\mathrm{F}19\) et \(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F}23\) fonctions. Les courbes de convergence d'AZOA et des quatre derniers algorithmes exceptionnels tout en réalisant la solution lors des itérations d'algorithmes sont illustrées à la Fig. 13. Les résultats de la simulation ont révélé que la méthode proposée, à savoir AZOA avec des capacités d'exploitation, d'exploration et d'équilibrage élevées, avait des performances supérieures lorsque par rapport à FFA et MGO et performances comparables avec AVOA et GTO. En outre, les résultats du test statistique de rang de somme de Wilcoxon révèlent la supériorité statistique significative d'AZOA par rapport aux deux derniers algorithmes exceptionnels, à savoir FFA, MGO et AZOA. Les boîtes à moustaches des performances des algorithmes AZOA et concurrents dans la résolution des fonctions d'ensemble de référence CEC-2005 sont présentées à la Fig. -}\mathrm{F}4\), \(\mathrm{F}7\), \(\mathrm{F}9{-}\mathrm{F}11\), \(\mathrm{F}14 {-}\mathrm{F}19\) et \(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F}23\), est le troisième meilleur optimiseur par rapport aux algorithmes concurrents.

Graphique de convergence d'AZOA et quatre dernières métaheuristiques exceptionnelles dans la résolution des fonctions de référence CEC-2005.

Boîtes à moustaches d'AZOA et quatre dernières métaheuristiques exceptionnelles dans la résolution des fonctions de référence CEC-2005.

Les résultats statistiques des fonctions de référence CEC-2017 utilisant AZOA et les quatre derniers algorithmes exceptionnels sont présentés dans les tableaux 13 et 14. Ce qui est conclu à partir des résultats de la simulation est que la méthode AZOA proposée a fourni de meilleurs résultats par rapport à AVOA pour \( \mathrm{F}1\), \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}5{-}\mathrm{F}9\), \(\mathrm{F}11\) , \(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}17\) et \(\mathrm{F}19{-}\mathrm{F}29\) et offrent un résultat équivalent par rapport à FFA et MGO. Les courbes de convergence d'AZOA et des quatre derniers algorithmes remarquables tout en réalisant la solution pour les fonctions CEC-2005 lors des itérations d'algorithmes sont présentées à la Fig. 15. L'analyse des résultats de simulation montre que la méthode AZOA proposée a fourni de meilleures performances pour les fonctions \ (\mathrm{F}1\), \(\mathrm{F}13\) et \(\mathrm{F}30\) et des performances comparables pour d'autres fonctions. Les diagrammes en boîte des performances d'AZOA et des algorithmes concurrents dans la résolution des fonctions d'ensemble de référence CEC-2017 sont illustrés à la Fig. 16.

Graphique de convergence d'AZOA et quatre dernières métaheuristiques exceptionnelles dans la résolution des fonctions de référence CEC-2017.

Boîtes à moustaches d'AZOA et quatre dernières métaheuristiques exceptionnelles dans la résolution des fonctions de référence CEC-2017.

Les résultats d'optimisation des fonctions de référence CEC-2019 utilisant AZOA et les quatre derniers algorithmes exceptionnels sont présentés dans les tableaux 15 et 16. Premièrement, lorsque AZOA est comparé à FFA, il fournit le meilleur résultat pour les fonctions \(\mathrm{F}2 {-}\mathrm{F}4\), \(\mathrm{F}6{-}\mathrm{F}8\) et \(\mathrm{F}10\). Deuxièmement, il a fourni un meilleur résultat pour les fonctions \(\mathrm{F}2,\) \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}6\), \(\mathrm{F}7 \) et \(\mathrm{F}10\) par rapport à MGO. Troisièmement, AZOA fournit de meilleurs résultats par rapport à AVOA, sauf pour les fonctions \(\mathrm{F}1\), \(\mathrm{F}4\), \(\mathrm{F}6\) et \(\mathrm {F}8\). Enfin, AZOA offre les meilleurs résultats pour les fonctions \(\mathrm{F}2\), \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}7\), \(\mathrm{F}8 \) et \(\mathrm{F}10\). Par conséquent, AZOA fonctionne mieux que les quatre derniers algorithmes exceptionnels. Le graphique convergent des algorithmes qui ont été implémentés est représenté sur la figure 17. Il ressort de ces courbes que l'AZOA réalise une convergence comparable pour la plupart des fonctions. Sur la figure 18, le diagramme en boîte des algorithmes comparés ainsi que l'AZOA proposé pour résoudre les fonctions sont présentés sous forme de diagramme en boîte. À partir de la Fig. 18, l'étude de la boîte à moustaches indique que l'AZOA a une largeur plus petite et un centre plus efficace que les algorithmes métaheuristiques concurrents.

Graphique de convergence d'AZOA et quatre dernières métaheuristiques exceptionnelles dans la résolution des fonctions de référence CEC-2019.

Boîtes à moustaches d'AZOA et quatre dernières métaheuristiques exceptionnelles dans la résolution des fonctions de référence CEC-2019.

Dans cette partie, l'AZOA est évalué sur des problèmes d'ingénierie réels, qui présentent une variété de défis, tels que des contraintes, des nombres entiers mixtes, etc. Ces problèmes d'optimisation d'ingénierie sous contrainte (dans le cas de la minimisation) peuvent être représentés comme suit :

où \({g}_{i}\) et \({h}_{j}\) représentent respectivement les contraintes d'inégalité et d'égalité. \({R}^{n}\) désigne l'espace vectoriel de dimension \(n\) sur le champ réel. Le but d'AZOA est de trouver la meilleure solution réalisable qui minimise la fonction de coût \(f(\overrightarrow{z})\) soumise à des contraintes. Pour gérer toutes ces contraintes dans AZOA, la fonction de pénalité est utilisée. L'approche de la fonction de pénalité est appliquée pour redéfinir le problème d'optimisation d'ingénierie sous contraintes. En conséquence, dans l'Eq. (\(14\)) l'optimisation de ces problèmes d'ingénierie en appliquant AZOA est exprimée par :

où \(S\) désigne l'espace de recherche possible. lors de l'application d'une telle approche, les individus qui violent une contrainte à n'importe quel niveau se voient attribuer une grande valeur optimale de fonction. Ainsi, tout au long de la phase d'optimisation, l'algorithme éliminera automatiquement les solutions irréalisables. De cette manière, en appliquant une fonction de pénalité, un problème contraint peut être converti en un problème non contraint.

L'idée clé derrière cette conception technique est de minimiser le poids du ressort tout en considérant trois contraintes d'inégalité non linéaires et une linéaire. La figure géométrique du ressort est illustrée à la Fig. 19. Ce problème d'ingénierie comporte trois variables de décision continues, notamment le diamètre du fil (\(d\) ou \({z}_{1}\)), le diamètre moyen de la bobine (\ (D\) ou \({z}_{2}\)), et le nombre de bobines actives (\(K\) ou \({z}_{3}\)). L'expression mathématique de la conception a été présentée comme suit :

Problème de conception du ressort de tension ou de compression.

Les résultats de l'AZOA nouvellement proposé sont comparés à des algorithmes métaheuristiques bien connus qui ont résolu ce problème avec succès, notamment PSO, GSA, SSA, TSA, MVO, GWO et LFD. Les résultats de cette comparaison sont présentés dans le tableau 17 et montrent qu'AZOA est capable de générer des solutions efficaces et de bien concevoir.

L'objectif principal de ce problème de conception est de réduire le prix global d'un récipient sous pression, ce qui comprend les coûts de soudage, de formage et de matériaux, comme illustré à la Fig. 20. Cette conception d'optimisation comporte quatre variables de conception telles que l'épaisseur de la coque (\ ({z}_{1}\) ou \(Ts\)), l'épaisseur de la tête (\({z}_{2}\) ou \(Th\)), le rayon intérieur (\({z }_{3}\) ou \(R\)), et la longueur de la partie cylindrique du vaisseau (\({z}_{4}\) ou \(L\)). Entre cette variable à quatre plans, \({z}_{3}\) et \({z}_{4}\) sont continues, tandis que \({z}_{1}\) et \({ z}_{2}\) sont discrets (multiplications entières de 0,0625 po). Mathématiquement, le récipient sous pression s'exprime comme suit :

Problème de conception de réservoir sous pression.

Les résultats de l'AZOA sont comparés à des algorithmes métaheuristiques bien connus, notamment PSO, GSA, SSA, TSA, MVO, GWO et LFD. Les résultats de cette comparaison sont présentés dans le tableau 18, qui montre que l'AZOA a produit les meilleurs résultats pour résoudre ce problème en réduisant le coût total du récipient sous pression cylindrique.

Le but de cette conception est de diminuer au maximum le prix des poutres soudées. Le schéma de la poutre soudée est représenté sur la Fig. 21. Ce problème d'optimisation contient 4 variables de décision telles que la hauteur de la barre \(({z}_{3} ou t)\), l'épaisseur de la barre \(({ z}_{4} ou b)\), l'épaisseur de la soudure \(({z}_{1} ou h)\) et la longueur de la partie connectée de la barre, \(( {z}_{2} ou l ).\) La formule mathématique suivante est définie pour concevoir ce problème.

où \(\tau \left( {\vec{z}} \right) = \sqrt {(\tau^{\prime} )^{2} + 2\tau^{\prime}\tau^{\prime \prime } \frac{{z_{2} }}{2R} + (\tau^{\prime \prime } )^{2} } , \tau^{\prime} = \frac{P}{{\ sqrt 2 z_{1} z_{2} }}, \tau^{\prime \prime } = \frac{MR}{J}\)

où \(P=6000lb, L=14in, E=30*{10}^{6}psi, G=12*{10}^{6}psi, {\tau}_{max}=\mathrm{13 600 } psi, {\sigma }_{max}=\mathrm{30 000}psi, {\delta }_{max}=0,25in\).

Problème de conception de poutre soudée.

Le tableau 19 montre les résultats d'une comparaison de l'AZOA avec plusieurs algorithmes métaheuristiques utilisant la même fonction de pénalité. Les résultats démontrent que la méthode AZOA est plus performante pour localiser les valeurs optimales pour la conception de la poutre soudée.

Dans les systèmes mécaniques, l'un des éléments clés de la boîte de vitesses est le réducteur de vitesse, et il peut être appliqué à de nombreuses fins. Le poids du réducteur de vitesse doit être réduit avec 11 contraintes dans ce problème d'optimisation. Ce problème a sept variables telles que la largeur du visage \(b\left({z}_{1}\right)\), le module des dents \(m\left({z}_{2}\right)\), le nombre de dents du pignon \(x\left({z}_{3}\right)\), la longueur du premier arbre entre les roulements \({l}_{1}\left({z}_{ 4}\right)\), la longueur du deuxième arbre entre les roulements \({l}_{2}\left({z}_{5}\right)\), le diamètre des premiers arbres \({d} _{1}\left({z}_{6}\right)\), et le diamètre des seconds arbres \({d}_{2}\left({z}_{7}\right)\) comme le révèle la Fig. 22. La formulation mathématique du problème du réducteur de vitesse est la suivante.

Problème de conception du réducteur de vitesse.

Le tableau 20 montre les résultats de l'algorithme proposé et sa comparaison avec d'autres algorithmes, tels que GWO, GSA, PSO, SSA, TSA, MVO et LFD sur ce problème. Les résultats de la simulation révèlent que la méthode proposée, à savoir AZOA, a surpassé les autres algorithmes.

L'objectif principal de ce problème structurel est de minimiser le rapport d'engrenage pour la fabrication du train d'engrenages composé, comme illustré à la Fig. 23.

Problème de conception du train d'engrenages.

L'objectif est de déterminer le nombre optimal de dents pour quatre engrenages d'un train afin de minimiser le rapport d'engrenage. La variable de conception qui est identique au nombre de dents des engrenages est : \({n}_{A}\left({z}_{1}\right)\), \({n}_{B} \left({z}_{2}\right)\), \({n}_{C}\left({z}_{3}\right)\) et \({n}_{D }\gauche({z}_{4}\droite)\). La formulation mathématique du problème de conception du train d'engrenages est la suivante.

Les résultats de l'algorithme proposé, à savoir AZOA, et sa comparaison avec les autres algorithmes métaheuristiques tels que MFO35, ABC76, PSO32, CS77, MVO25, TSA41 et WOA36 sont fournis dans le tableau 21. Les résultats de simulation dans le tableau 21 montrent que AZOA surpasse le algorithme comparé.

L'objectif de la conception des fermes est de réduire le poids des constructions à barres. La figure 24 présente la structure graphique de ce problème. Le volume d'une ferme à 3 barres chargée statiquement doit être réduit tandis que les contraintes de contrainte \(\left(\upsigma \right)\) sur chaque membre de la ferme sont maintenues. L'objectif principal est de trouver les meilleures aires de section transversale, \({\mathrm{A}}_{1}\left({\mathrm{z}}_{1}\right)\) et \({\ mathrm{A}}_{2}\left({\mathrm{z}}_{2}\right)\). La formulation mathématique de ce problème de conception est la suivante.

Problème de conception d'une ferme à trois barres.

Le tableau 22 montre les résultats de l'algorithme proposé et sa comparaison avec d'autres algorithmes, tels que GOA38, MBA79, PSO-DE78, SSA37, MVO25, TSA41 et AO43 sur ce problème. Les résultats démontrent que la méthode proposée, à savoir AZOA, a surpassé les algorithmes comparés.

L'énergie éolienne est l'énergie électrique générée par l'exploitation du vent via des moulins à vent ou des éoliennes. C'est l'un des types les plus importants de sources d'énergie renouvelables car il est abondant et présent partout. Cette énergie, lorsqu'elle est utilisée de manière appropriée, peut nous aider à créer beaucoup d'électricité. L'énergie éolienne a récemment gagné en popularité en réponse à la demande croissante d'électricité. La production totale d'énergie d'un parc éolien peut être maximisée en utilisant les éoliennes dans la meilleure position possible. Le positionnement d'une éolienne dans un parc éolien est une opération difficile car des aspects tels que la perte de sillage causée par les éoliennes en amont vers les éoliennes en aval doivent être pris en compte. Minimiser la perte de sillage pour augmenter la puissance de sortie pose un défi pour divers algorithmes d'optimisation appliqués à ce problème d'optimisation de la disposition. Par conséquent, dans cette section, l'algorithme AZOA est utilisé pour trouver l'emplacement optimal des éoliennes et maximiser la puissance totale avec le coût minimum par kilowatt. Deux études de cas différentes sont réalisées telles que : vitesse du vent constante (CWS) avec direction du vent variable (VWD) et vitesse du vent variable (VWS) avec direction du vent variable (VWD). Les résultats expérimentaux sont comparés aux études réalisées en utilisant L-SHADE80, GA81, GA82, GWO83, BPSO-TVAC84, RSA85 et SBO86. La modélisation mathématique du problème d'implantation du parc éolien est abordée comme suit.

Lorsque le vent traverse une turbine, la vitesse du vent diminue et la force de la turbulence augmente, laissant un sillage derrière la turbine. Non seulement le sillage continue de se déplacer vers l'aval, mais il se gonfle également latéralement. Les turbines placées en aval créent moins de puissance en raison de l'effet de sillage. Le modèle de décroissance linéaire du sillage de Jensen87,88 est utilisé dans cette étude pour le calcul de la vitesse du vent dans la zone de sillage. La figure 25 représente le schéma du modèle de sillage linéaire. La vitesse du vent dans la zone de sillage est estimée en supposant que la quantité de mouvement est préservée dans le sillage. La vitesse du vent dans la région de sillage est donnée par :

où w désigne l'effet de sillage, \({w}_{0}\) désigne la vitesse du vent d'origine sans tenir compte de l'impact du sillage, a désigne le facteur d'induction axiale, \({\beta }_{k}\) désigne la constante d'entraînement par rapport à la turbine ktℎ, \({z}_{i,j}\) est la distance entre la \({i}\)ième et la \({j}\)ième turbine, \ ({r}_{k1}\) est le rayon du rotor aval, \({h}_{k}\) est la hauteur du moyeu de la \({k}\)ème turbine, \({z}_{ 0}\) désigne la rugosité de surface du parc éolien, \({C}_{r}\) est le coefficient de poussée du rotor de l'éolienne.

Modèle de sillage linéaire de Jensen.

Lorsqu'une seule turbine rencontre de nombreux sillages, on pense que l'énergie cinétique du sillage combiné est équivalente au total des déficits d'énergie cinétique.

La vitesse résultante de la \({i}\)ème turbine en aval des \({N}_{x}\) turbines est donnée par :

où \({w}_{ik}\) désigne la vitesse du vent de la \({i}\)ème turbine sous l'impact de la \({k}\)ème turbine. Pour le modèle de sillage linéaire, la région de sillage est conique et le rayon de la zone de sillage est défini comme le rayon d'influence du sillage déterminé par :

La puissance de sortie de la \({i}\)ème turbine en \(kW\) est donnée par :

où \(\rho\) représente la densité de l'air et \({C}_{p}\) est l'efficacité du rotor.

La puissance totale d'un parc éolien avec \(N\) turbines est calculée par l'équation. (29).

où

Le coût par \(kW\) de la puissance de sortie est calculé par :

où

L'efficacité du parc éolien est calculée par la formule :

où \({P}_{i,max}\) représente la puissance maximale de la \({i}\)ème éolienne en fonction de la vitesse maximale du vent \({w}_{i, max}\ ) s'il n'y avait pas d'effet de sillage et \({f}_{m}\) représente la probabilité d'une vitesse de vent particulière dans une direction spécifique.

Ce travail est basé sur une analyse d'un parc éolien carré de 10 × 10 avec 100 emplacements possibles pour les éoliennes. Toutes les éoliennes ont été déployées au milieu de la cabine. La dimension de chaque cellule est de 200 m, comme représenté sur la Fig. 26. Le choix de la cellule, qui était égal au diamètre du rotor, empêchait le sillage de heurter les autres turbines lorsqu'il était placé dans une colonne avec une autre colonne adjacente. . Les paramètres du parc éolien utilisé dans cette étude sont répertoriés dans le tableau 23. La méthode proposée, à savoir l'algorithme AZOA, est mise en œuvre dans les deux études de cas (CWS avec VWD et VWS avec VWD), et les résultats sont comparés avec d'autres algorithmes existants. , y compris L-SHADE80, GA81, GA82, GWO83, BPSO-TVAC84, RSA85 et SBO86. Chaque algorithme est modélisé en utilisant une taille de population de 200 et un nombre maximum de 100 itérations. La borne supérieure et la borne inférieure sont attribuées respectivement à 1 et 0, tandis que la taille du problème est attribuée à 100.

Topologie du parc éolien.

Dans le premier cas, un CWS de 12 m par seconde a été supposé avec une chance égale d'écoulement du vent de chaque direction en étudiant 36 angles allant de \({0}^{^\circ }\) à \({360}^ {^\circ }\) degrés en \({10}^{^\circ }\) incréments. L'AZOA proposé est utilisé dans ce cas, et les résultats de l'algorithme AZOA et sa comparaison avec les autres algorithmes métaheuristiques sont fournis dans le tableau 24. D'après le tableau 24, on observe que l'AZOA surpasse l'algorithme comparé pour la même fonction objectif. La figure 27 illustre la configuration optimale du parc éolien identifiée par AZOA. L'algorithme AZOA proposé génère une puissance annuelle de 17 920 kW à partir de 40 turbines à un coût par kW de 0,0015340 et une efficacité de 86,42 %.

Configuration optimale du parc éolien par AZOA pour CWS avec VWD.

Pour vérifier l'efficacité de la méthode proposée pour le placement optimal d'un parc éolien dans le cas 2, VWS et VWD sont supposés. Dans ce cas, 8 m/s, 12 m/s et 17 m/s avec 36 angles allant de 0° à 360° degrés par incréments de 100° sont pris en compte. L'AZOA proposé est utilisé dans ce cas, et les résultats de l'algorithme AZOA et sa comparaison avec les autres algorithmes métaheuristiques sont fournis dans le tableau 25. D'après le tableau 25, on observe que l'AZOA surpasse l'algorithme comparé pour la même fonction objectif. La figure 28 illustre la configuration optimale du parc éolien identifiée par AZOA. L'algorithme AZOA proposé génère une puissance de sortie annuelle de 32 556 kW à partir de 39 turbines à un coût/kW de 0,00083218 et une efficacité de 86,78 %.

Configuration optimale du parc éolien par AZOA pour VWS avec VWD.

Enfin, les résultats obtenus révèlent l'efficacité et la validité de l'algorithme AZOA dans la configuration optimale des éoliennes dans un parc éolien pour les deux études de cas, car l'algorithme a fourni de meilleurs résultats par rapport à d'autres algorithmes.

Dans le domaine des systèmes électriques, l'ELD est l'une des problématiques mises en avant par les chercheurs. L'objectif principal du problème est d'allouer la puissance requise entre les groupes électrogènes disponibles aussi efficacement que possible afin de réduire les coûts globaux de carburant tout en maintenant la demande de charge et les diverses contraintes opérationnelles de tous les groupes électrogènes89,90. Le coût global du carburant des générateurs est généralement exprimé à l'aide d'une fonction quadratique comme suit :

où \({u}_{i},v, {w}_{i}\) sont les coefficients de coût du \({i}\)ième générateur, \({F}_{i}\) est le coût du générateur \({i}\), \({p}_{i}\) est la puissance générée du \({i}\)ème générateur et \(N\) est le nombre total de générateurs. En règle générale, l'approvisionnement global en énergie produite par les générateurs est plus que suffisant pour satisfaire à la fois la quantité requise et la perte totale de la ligne de transmission. Ainsi, il faut satisfaire aux critères d'égalité suivants :

Ici, \({p}_{d}\) et \({p}_{l}\) représentent respectivement la demande et la perte de transmission totale de la ligne. La formule de perte de Kron est utilisée pour déterminer la perte de transmission sous la forme indiquée ci-dessous.

Dans ce contexte, les termes \(B\) \({B}_{ij}, {B}_{i0}\) et \({B}_{00}\) sont appelés coefficients de perte. La puissance globale produite par les générateurs est circonscrite par leur puissance active maximale respective \({p}_{max}\) et la puissance minimale \({p}_{min}\) en raison des capacités et des limitations des générateurs . Par conséquent, chaque générateur doit se conformer aux critères ci-dessous.

Soit \({F}_{i}\) incarnant le coût de production d'énergie au \({i}\)ème générateur. Ensuite, le coût total \(C\) est délimité par \(\sum_{i=1}^{N}{F}_{i}\). La fonction de coût est principalement influencée par la puissance réelle générée \({p}_{i}\). Par conséquent, \({p}_{i}\) est la seule variable utilisée pour estimer le coût individuel \({F}_{i}\) des unités de production et le coût total \(C\) peut être articulé comme \(\sum_{i=1}^{N}{F}_{i}\left({p}_{i}\right)\).

La structure d'un système IEEE-30 à six générateurs est illustrée à la Fig. 29. Dans le Tableau 26, les coefficients de coût \(({u}_{i}\), \({v}_{i}\) et \({w}_{i})\) et les contraintes limites (\({p}_{imin}\), \({p}_{imax})\) des générateurs sont signalées. Dans le tableau 27, la matrice de coefficients B pour le système spécifié est fournie. Le problème énoncé est résolu par AZOA pour déterminer la répartition de charge la plus rentable pour plusieurs charges distinctes de 600 MW, 700 MW et 800 MW. Plusieurs algorithmes bien connus sont comparés à AZOA, notamment l'itération lambda91 et la programmation quadratique92, GA93 et ​​PSO94. Les tableaux 28, 29 et 30 montrent les résultats de la comparaison des algorithmes pour des besoins de 600 MW, 700 MW et 800 MW, respectivement. A partir de ces tableaux, on observe que l'algorithme proposé AZOA a fourni le meilleur coût de carburant parmi tous les algorithmes comparés.

Structure d'un système IEEE à 30 bus.

Cette étude a développé un nouvel algorithme méta-heuristique bio-inspiré, à savoir AZOA, inspiré du comportement social des zèbres américains dans la nature. L'inspiration principale de cet algorithme proposé est le caractère social unique et fascinant et l'exercice de leadership des zèbres américains à l'état sauvage, qui oblige les bébés zèbres à quitter le troupeau avant la maturité et à rejoindre un troupeau séparé sans relations familiales. Ce processus de sortie du groupe empêche les parents zèbres de se reproduire avec leur progéniture pour garantir la diversité en AZOA. De même, la convergence est assurée par l'exercice du leadership chez les zèbres américains pour orienter la vitesse et la direction du groupe. Le concept AZOA proposé a été modélisé et conçu en cinq phases simples pour une mise en œuvre facile et des performances supérieures. Pour évaluer l'efficacité de l'algorithme AZOA, les fonctions de référence CEC-2005, CEC-2017 et CEC-2019 sont prises en compte par rapport à plusieurs algorithmes évolutifs existants et les plus récents. Les résultats de la simulation et l'analyse statistique révèlent qu'AZOA est capable d'atteindre les solutions optimales pour des fonctions de référence maximales tout en maintenant un bon équilibre entre l'exploration et l'exploitation. De plus, une analyse de sensibilité a été utilisée pour accéder aux performances de l'AZOA proposé. De plus, la mise en œuvre d'AZOA dans la résolution de plusieurs problèmes d'optimisation de la conception technique a assuré la robustesse de l'algorithme proposé dans les problèmes d'optimisation du monde réel. Bien que l'AZOA proposé ait offert des performances supérieures dans la plupart des fonctions de référence examinées dans cet article, la supériorité d'AZOA n'est pas remarquable lors de la gestion de certains problèmes multimodaux et composites par rapport aux algorithmes classiques, et il a également atteint des résultats médiocres par rapport aux algorithmes contemporains tels que FFA. , MGO, AVOA et GTO. Par conséquent, plusieurs modifications, telles que la mise en œuvre d'opérateurs d'apprentissage, l'introduction de paramètres de poids adaptatifs et la conception des versions binaires et multimodales, font l'objet de futurs travaux de recherche sur l'algorithme AZOA.

Toutes les données générées ou analysées au cours de cette étude sont incluses dans cet article.

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Ce travail de recherche est financé par l'Université VIT.

Institut de technologie de Vellore, Vellore, Tamil Nadu, 632014, Inde

Sarada Mohapatra et Prabhujit Mohapatra

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SM : Conceptualisation, Méthodologie, écriture—ébauche originale. PM : Conceptualisation, Méthodologie, Supervision, rédaction—révision et édition.

Correspondance à Prabhujit Mohapatra.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Mohapatra, S., Mohapatra, P. Algorithme d'optimisation de zèbre américain pour les problèmes d'optimisation globale. Sci Rep 13, 5211 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-31876-2

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Reçu : 11 janvier 2023

Accepté : 20 mars 2023

Publié: 30 mars 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-31876-2

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